一、界说

　　滤波是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和避免滋扰的一项主要步伐。是凭证视察某一随机历程的效果，对另一与之有关的随机历程举行预计的概率理论与要领。

二、滤波起源

　　滤波一词起源于通讯理论，它是从含有滋扰的吸收信号中提取有用信号的一种手艺。“吸收信号”相当于被视察的随机历程，“有用信号”相当于被预计的随机历程。例如用雷达跟踪飞机，测得的飞机位置的数据中，含有丈量误差及其他随机滋扰，怎样使用这些数据尽可能准确地预计出飞机在每一时刻的位置、速率、加速率等，并展望飞机未来的位置，就是一个滤波与展望问题。这类问题在电子手艺、航天科学、控制工程及其他科学手艺部分中都是大宗保存的。历史上最早思量的是维纳滤波，厥后R.E.卡尔曼和R.S.布西于20世纪60年月提出了卡尔曼滤波。现对一样平常的非线性滤波问题的研究相当活跃。

三、滤波基本看法

　　滤波是信号处置惩罚中的一个主要看法，滤波分经典滤波和现代滤波两种。

经典滤波

　　经典滤波的看法，是凭证傅立叶剖析和变换提出的一个工程看法。凭证高等数学理论，任何一个知足一定条件的信号，都可以被看成是由无限个正弦波叠加而成
；痪浠八，就是工程信号是差别频率的正弦波线性叠加而成的，组成信号的差别频率的正弦波叫做信号的频率因素或叫做谐波因素。

现代滤波

　　用模拟电子电路对模拟信号举行滤波，其基来源理就是使用电路的频率特征实现对信号中频率因素的选择。凭证频率滤波时，是把信号看成是由差别频率正弦波叠加而成的模拟信号，通过选择差别的频率因向来实现信号滤波。

　　1、当允许信号中较高频率的因素通过滤波器时，这种滤波器叫做高通滤波器。

　　2、当允许信号中较低频率的因素通过滤波器时，这种滤波器叫做低通滤波器。

　　3、设低频段的阻止频率为fp1,高频段的阻止频率为fp2:

　　1)频率在fp1与fp2之间的信号能通过其它频率的信号被衰减的滤波器叫做带通滤波器。

　　2)反之，频率在fp1到fp2的规模之间的被衰减，之外能通过的滤波器叫做带阻滤波器。

理想滤波器的行为特征通常用幅度-频率特征图形貌，也叫做滤波器电路的幅频特征。

四、滤波分类

维纳滤波

　　历史上最先思量的是宽平稳历程（见平稳历程）的线性展望和滤波问题，它的一样平常模子是Yt=Xt+Nt，其中(X，N)为二维宽平稳历程或序列，其谱漫衍函数已知,其均值为零。设从－∞到时刻t为止的所有Y的值都已被视察到，求X的τ步线性展望及其均方误差。若是限于思量N=0、τ>0的情形，则酿成在无误差视察条件下X自己的线性展望问题
；若是N≠0、τ≤0，则酿成从受到噪声N滋扰的吸收信号Y中提取有用信号X的滤波问题。1939～1941年，Α。Η.柯尔莫哥洛夫使用平稳序列的沃尔德剖析（见平稳历程），给出了线性展望的一样平常理论与处置惩罚步伐，随即被推广到一连时间的平稳历程。N.维纳则在1942年关于平稳序列与历程的谱密度保存且知足某种正则条件的情形，使用谱剖析导出了线性最优展望和滤波的显着表达式，即维纳滤波公式，并在防空火力控制、电子工程等部分获得了应用。上述模子在50年月被推广到仅在有限时间区间内举行视察的平稳历程以及某些特殊的非平稳历程，其应用规模也扩充到更多的领域。至今它仍是处置惩罚种种动态数据（如气象、水文、地动勘探等）及展望未来的有力工具之一。

　　维纳滤波公式是通过平稳历程的谱剖析导出的，难以推广到较一样平常的非平稳历程和多维情形，因而应用规模受到限制。另一方面，在一直增添视察效果时，不易从已算出的滤波值及新的视察值较简朴地求出新的滤波值，特殊是不可知足在电子盘算机上快速处置惩罚大宗数据的需要。

卡尔曼滤波

　　由于高速电子盘算机的生长以及测定人造卫星轨道和导航等手艺问题的需要，R.E.卡尔曼与R.S.布西于20世纪60年月初期提出了一类新的线性滤波的模子与要领，通称为卡尔曼滤波。其基本假设是，被预计历程X为随机噪声影响下的有限阶多维线性动态系统的输出，而被视察的Yt则是Xt的部分分量或其线性函数与量测噪声的叠加，这里并不要求平稳性，但要求差别时刻的噪声值是不相关的。别的，视察只需从某一确准时刻最先，而不必是无限长的视察区间。更主要的是，顺应电子盘算机的特点，卡尔曼滤波公式不是将预计值表成视察值的显着的函数形式，而是给出它的一种递推算法(即实时算法)。详细地说，关于离散时间滤波，只要适当增大X的维数，就可以将t时刻的滤波值表成为前一时刻的滤波值与本时刻的视察值Yt的某种线性组合。关于一连时间滤波,则可以给出与Yt所应知足的线性随机微分方程。在需要一直增添视察效果和输出滤波值的情形，这样的算法加速了处置惩罚数据的速率，并且镌汰了数据存贮量
？ǘ怪な,若是所思量的线性系统知足某种“可控性”和“可视察性”（这是现代控制理论中由卡尔曼提出的两个主要看法），那么最优滤波一定是“渐近稳固”的。大致说来，就是由初始误差、舍入误差及其他的禁绝确性所引起的效应，将随着滤波时间的延伸而逐渐消逝或趋于稳固， 不致形成误差的积累。这在现实应用上是很主要的。

　　卡尔曼滤波也有多种形式的推广，例如放宽对噪声不相关性的限制，用线性系统迫近非线性系统，以及所谓“自顺应滤波”，等等，并获得了日益普遍的应用。

非线性滤波

　　一样平常的非线性最优滤波可归结为求条件期望的问题。关于有限多个视察值的情形，条件期望原则上可以用贝叶斯公式来盘算。但纵然在较量简朴的场合，这样得出的效果也是相当繁杂的，无论对现实应用或理论研究都很不利便。与卡尔曼滤波类似，人们也希望能给出非线性滤波的某种递推算法或它所知足的随机微分方程。但一样平常它们并不保存，因此必需对所讨论的历程X与Y加以适当的限制。非线性滤波的研究事情相当活跃，它涉及随机历程论的许多近代效果，如随机历程一样平常理论、鞅、随机微分方程、点历程等。其中一个十分主要的问题，是研究在什么条件下，保存一个鞅M，使得在任何时刻,M和Y都包括同样的信息
；这样的M称为Y的新息历程。现在关于一类所谓“条件正态历程”，已经给出了非线性最优滤波的可严酷实现的递推算式。在现实应用上，对非线性滤波问题往往接纳种种线性近似的要领。

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